PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA

Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):

• Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios de dimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.
• El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y solo si la bola unidad es compacta.
• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

 

TEOREMA DE COMPLETITUD DE GÖDEL

El teorema de completitud de Gödel es un importante teorema de la lógica matemática, que fue demostrado por primera vez por Kurt Gödel en 1929 y que en su forma más conocida establece lo siguiente: “En una lógica de primer orden, toda fórmula que es válida en un sentido lógico es demostrable”.

La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora, o a mano).

·         La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora, o a mano).

·         La palabra "demostrable" significa que existe una deducción formal de la fórmula. La deducción consiste en una lista finita de pasos en los que cada paso o bien invoca a un axioma o es obtenido a partir de pasos previos mediante una básica regla de inferencia. A partir de dicha deducción, es posible verificar si cada uno de los pasos es correcto mediante un algoritmo (por ejemplo, mediante una computadora, o a mano).

·         El teorema de Gödel establece una correspondencia entre la verdad semántica y la probabilidad sintáctica en la lógica de primer orden. Crea un vínculo entre la teoría de modelos que se ocupa de lo que es cierto en diferentes modelos, y la teoría de la demostracion que estudia lo que se puede probar formalmente en sistemas formales particulares.

·         Gödel utilizó el teorema de completitud para probar el teorema de compacidad, demostrando la naturaleza finitaria del operador de consecuencia lógica. Estos resultados ayudaron a establecer a la lógica de primer orden como el tipo de lógica dominante en las matemáticas actual.

·         Fue luego simplificado en 1947, cuando Leon Henkin observó en su tesis de doctorado que la parte difícil de la prueba se puede presentar como el Modelo de Teorema de la Existencia (publicado en 1949). A su vez, la prueba de Henkin fue simplificada por Gisbert Hasenjaeger en 1953.

 

DEMOSTRACIÓN ORIGINAL DEL TEOREMA DE COMPLETITUD DE GÖDEL

En 1930 Gödel demostró la completitud de la lógica cuantificacional de primer orden. Literalmente el teorema de completitud de Gödel establece: "Para toda fórmula A de la lógica cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadera, entonces A es deducible". Dicho formalmente: "Si ╞ A, entonces ├ A". Esto quiere decir que el sistema formal de la lógica cuantificacional será completo si todas las fórmulas que representan verdades lógicas son formalmente deducibles en el sistema.

La prueba del teorema de completitud se reduce a consignar las siguientes premisas

1.   A es lógicamente verdadera: A ╞ A

2.   Si A es lógicamente verdadera, entonces ¬A es insatisfacible

3.   Si ¬A es insatisfacible, entonces ¬A es inconsistente

4.   Si ¬A es inconsistente, entonces da lugar a contradicción:                                                          ¬A ├ B y ¬A ├ ¬B

5.   Si ¬A ├ B y ¬A ├ ¬B, entonces ├ A

La justificación de estas premisas es la siguiente

1.   Es la hipótesis del teorema de completitud

2.   Se sigue de la definición del concepto de fórmula lógicamente verdadera: su negación ha de ser insatisfacible

3.   Es la contraposición del teorema de Henkin

4.   Es un mero análisis de la definición de inconsistencia

5.   Se basa en el teorema de deducción, que permite pasar de  ¬A ├ B y ¬A ├ ¬B a ├ ¬A ^ B y ├ ¬A ^ ¬B, respectivamente, y en Modus Ponens, que permite, con ayuda de estas dos últimas fórmulas, eliminar los antecedentes en la ley de reducción al absurdo (├ (¬A ^ B) ® ((¬A ^ ¬B) ^ ¬¬A); de ├ ¬¬A se pasa a ├ a mediante una aplicación de MP a la ley de doble negación ├ ¬¬A ^ A

Aceptadas estas premisas, se les aplica reiteradamente la regla MP, empezando por (2) y (1), siguiendo con (3) y el consecuente de (2), y así sucesivamente, hasta liberar el consecuente de (5): ├ A, que es justamente la tesis del teorema de Gödel, el cual queda, por tanto, demostrado.

Seguimos, con un video explicativo sobre la Demostración Original del Teorema de Gödel:

https://view.knowledgevision.com/presentation/6653b85722de4d3f9b76298476d07d05

En las siguientes Fuentes Bibliográficas, podrás encontrar más información con respecto a los temas mencionados en este blog:

v  Iribarren, Ignacio L. Topología de espacios métricos (1973). Recuperado en: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado

v  Cotlar, Mischa und Cignoli, Roberto. Nociones de espacios normados (1967). Recuperado en: https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial_normado

v  Alexandroff, P; Hopf, H. Topología. (1935). Recuperado en: https://es.qaz.wiki/wiki/Felix_Hausdorff

v  Eichhorn, E; Thiele, E.-J. Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff. (1994). Recuperado en: https://es.qaz.wiki/wiki/Felix_Hausdorff

v   Durán, Antonio J. Crónicas matemáticas: una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes. (2018). Recuperado en: https://es.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff

v  Blumberg, Henry. "Hausdorff's Grundzüge der Mengenlehre", Boletín de la American Mathematical Society (1920). Recuperado en: https://es.qaz.wiki/wiki/Grundz%C3%BCge_der_Mengenlehre

v  Gödel, K. Über die Vollständigkeit des Logikkalküls. (1929). Recuperado en: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_completitud_de_G%C3%B6del#:~:text=El%20teorema%20de%20completitud%20de,un%20sentido%20l%C3%B3gico%20es%20demostrable.