CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAUSDORFF

 El teorema de Hausdorff tiene varios corolarios destacables, algunos de los cuales equivalen al propio teorema. En primer lugar, el lema previo tiene ahora una versión más general:

• Todo operador lineal, de un espacio normado de dimensión finita, en un espacio normado arbitrario, es continuo.

Si X es un espacio normado de dimensión N ∈ N, existe una biyección lineal Φ: K^N → X, que por el teorema de Hausdorff es un isomorfismo, considerando en K^N la topología usual. Si ahora Y es un espacio normado, y T: X → Y un operador lineal, el lema previo a dicho teorema nos dice que T ◦ Φ es continuo, luego T = T ◦ Φ ◦ Φ⁻¹ también lo es.

Cabe preguntarse lo que ocurre cuando es el espacio de llegada de nuestro operador lineal el que tiene dimensión finita. La respuesta es el siguiente resultado que generaliza lo que ya sabíamos para funcionales lineales.

• Sean X e Y espacios normados y supongamos que Y tiene dimensión finita. Entonces, un operador lineal T: X → Y es continuo si, y sólo si, su núcleo es cerrado. 

Si T es continuo, entonces ker T = T⁻¹( {0} ) ha de ser cerrado. Recíprocamente, si ker T es cerrado, tenemos el espacio normado cociente X / ker T y la factorización canónica de T, es decir, T = J ◦ S ◦ q, donde q: X → X / ker T es la aplicación cociente, J: T(X) → Y la inclusión natural, y S: X / ker T → T(X) una biyección lineal. Ahora bien, como T(X) tiene dimensión finita, el teorema de Hausdorff nos dice que S es un isomorfismo y, en particular, es una aplicación continua. Pero q y J son continuas, luego T también lo es.

A partir de cualquiera de los dos resultados anteriores se deduce el teorema de Hausdorff, pues si T: X → Y es una biyección lineal entre espacios normados de dimensión finita, ambos nos dicen que T y T⁻¹ son continuas. Por tanto, los tres resultados son equivalentes.

Puesto que la complitud se conserva por isomorfismos, del teorema de Hausdorff se deduce obviamente que todo espacio normado de dimensión finita es completo. En Análisis Funcional, los espacios normados de dimensión finita casi siempre aparecen como subespacios de espacios de funciones, que suelen tener dimensión infinita. Si M es un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X, entonces M es completo con la norma inducida por X, luego M es cerrado en X. Hemos obtenido así un corolario al teorema de Hausdorff que, por la razón recién explicada, es el que se usa con más frecuencia:

• En cualquier espacio normado, todos los subespacios de dimensión finita son cerrados. 

Como última consecuencia del teorema de Hausdorff, obtenemos una condición suficiente para que un subespacio cerrado de un espacio normado esté complementado. Recordemos que, si M es un subespacio de un espacio vectorial X, la codimensión de M en X es la dimensión del cociente X / M, que coincide con la de cualquier complemento algebraico de M en X.

• Si M es un subespacio cerrado que tiene codimensión finita en un espacio normado X, entonces M está complementado en X. De hecho, todo complemento algebraico de M en X es un complemento topológico.

Sea Z un complemento algebraico de M en X y Q la proyección lineal de X sobre Z cuyo núcleo es M. Como Z tiene dimensión finita y ker Q es cerrado en X, un resultado anterior nos dice que Q es continua. Esto significa que X = M ⊕ Z es una suma topológico-directa, es decir, que Z es un complemento topológico de M en X.