PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA

Se cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):

• Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios de dimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.
• El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.
• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y solo si la bola unidad es compacta.
• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no continuos.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y solo si es cerrado y acotado.