ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA

En Análisis Funcional, los Espacios Normados de Dimensión Finita casi siempre aparecen como subespacios de espacios de funciones, que suelen tener dimensión infinita. Si M es un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X, entonces M es completo con la norma inducida por X, luego M es cerrado en X. 

Ejemplos de Espacios Normados de Dimensión Finita son: 

• R
• Los espacios euclídeos  , estudiados en el análisis clásico.
• Las matrices cuadradas de orden n sobre R: M_n (R).

En este blog, vamos a presentar resultados básicos acerca de los espacios normados más sencillos, los de dimensión finita. Basándonos en el teorema probado por Felix Hausdorff en 1932, afirmando que, para cada N ∈ N, todas las normas en K^N son equivalentes. De hecho, obtendremos un resultado formalmente más fuerte, del que se deducen varias consecuencias relevantes que veremos más adelante.

BIOGRAFÍA DE FELIX HAUSDORFF

Antes de profundizar más en el tema de Los Espacios Normados de Dimensión Finita, considero importante que conozcamos parte de la vida de Felix Hausdorff. El cual fue el creador del Teorema de Hausdorff; Teorema que explicaremos más adelante y nos ayudara a comprender más sobre que son Los Espacios Normados de Dimensión Finita.

BIOGRAFÍA DE FELIX HAUSDORFF

Felix Hausdorff (8 de noviembre de 1868, 26 de enero de 1942) fue un matemático alemán de origen judío. Es considerado uno de los fundadores de la topología moderna. Además contribuyó significativamente a la teoría de conjuntos, la teoría descriptiva de conjuntos, la teoría de la medida, el análisis funcional y la teoría de funciones.

Hausdorff nació en Breslavia en 1868, aunque poco después se mudó junto a su familia a Leipzig donde estudió matemáticas y astronomía. ​En 1899 se casó con Charlotte Goldschmidt, convertida al luteranismo en su juventud.

Desde 1902 y hasta 1910 fue docente en la universidad de Leipzig, año en que pasó a ser profesor de matemáticas en Bonn hasta 1913. ​ Fue profesor en Greifswald desde 1913 hasta 1921, año en que volvió a la universidad de Bonn.

El 15 de marzo de 1933 Adolf Hitler proclama el Tercer Reich. Poco después el    1 de abril se organiza un boicot a los negocios judíos​ y el 7 de abril entra en vigor la Ley para la Restauración de la Función Pública, que impedía trabajar a los judíos para la administración del Estado.​ Esta ley supuso que fueran despedidos entre 1933 y 1935 sesenta de los doscientos profesores de matemáticas que contaban las universidades alemanas.​ Debido a que Hausdorff había servido en su juventud como voluntario en la infantería alemana, donde alcanzó el rango de vice-sargento, se le aplicó una exención de la ley y continuó como catedrático en Bonn hasta jubilarse en 1935 a los 67 años.

En octubre de 1941 se obligó al matrimonio a llevar la estrella de David y a finales de año se les comunicó primero que serían deportados a Colonia y después a mediados de enero de 1942 que serían internados el 29 de enero en Endenich, un barrio de Bonn. El 26 de enero de 1942, Felix Hausdorff, junto con su esposa y su cuñada, se suicidó tomando una sobredosis de veronal, en lugar de cumplir con las órdenes alemanas de trasladarse al campo de Endenich, y sufrieron las probables implicaciones de que no se hacía ilusiones. Sus restos fueron incinerados y llevados al cementerio de Poppelsdorf.

 

LÍNEA CRONOLÓGICA DE LOS APORTES A LAS MATEMÁTICAS DE FELIX HAUSDORFF

En esta línea cronológica podemos observar los aportes más importantes que realizó Felix Hausdorff al campo de las matemáticas; si la leemos con detalle podemos observar que fue un hombre con un conocimiento basto en distintas ramas de las matemáticas.

• 1901: La entrada de Hausdorff en un estudio minucioso de conjuntos ordenados fue motivada en parte por el problema continuo de Cantor: qué lugar ocupa el número cardinal en la serie. En 1901, Hausdorff realizó la publicación de estudios teóricos de "conjuntos graduados"

• 1904: Hausdorff publicó la recursividad que lleva su nombre: Para cada ordinal no límite tenemos: 

Esta fórmula fue, junto con la noción posterior de cofinalidad introducida por Hausdorff, la base de todos los resultados posteriores para la exponenciación de Aleph.

• 1906-1909: Hausdorff realizó su trabajo fundamental en conjuntos ordenados. Solo se pueden tocar algunos puntos brevemente:

ü  De fundamental importancia para toda la teoría es el concepto de cofinalidad que introdujo Hausdorff. Un ordinal se llama regular si es cofinal con cualquier ordinal más pequeño; de lo contrario, es singular. La pregunta de Hausdorff sobre si hay números regulares con un índice ordinal límite, fue el punto de partida para la teoría de los cardenales inaccesibles. Hausdorff ya había notado que tales números, si existen, deben ser de "tamaño exorbitante". 

ü  De fundamental importancia es el siguiente teorema de Hausdorff: para cada conjunto denso ordenado ilimitado hay dos números iniciales regulares determinados de forma única, de modo que es cofinal con y coinicial con          (* Denota el orden inverso). Este teorema proporciona, por ejemplo, una técnica para caracterizar elementos y huecos en conjuntos ordenados.

ü  Hausdorff había creado esto con su teoría de productos y poderes generales. En este depósito se encuentran estructuras tan interesantes como los tipos normales de Hausdorff, en relación con los cuales Hausdorff formuló por primera vez la hipótesis del continúo generalizado. Los conjuntos de Hausdorff formaron el punto de partida para el estudio de la importante teoría de modelos de estructura saturada.

ü  Los productos generales de Hausdorff y los poderes de cardinalidades lo habían llevado al concepto de conjunto parcialmente ordenado. La pregunta de si algún subconjunto ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo ordenado fue respondida positivamente por Hausdorff utilizando el teorema del buen orden. Este es el principio máximo de Hausdorff.

ü  El principio maximal de Hausdorff es una consecuencia del axioma de elección, fue publicado por primera vez en un artículo en alemán de 1909, que no causó gran conmoción en su momento, sino hasta1935 cuando Max Zorn lo publicó nuevamente.

• 1914:En su obra clásica de 1914 Grundzüge der Mengenlehre, definió y estudió los conjuntos parcialmente ordenados de manera abstracta, usando el axioma de elección, y probó que todo conjunto parcialmente ordenado tiene un subconjunto maximal linealmente ordenado.

En este mismo libro, axiomatizó el concepto topológico de entorno e introdujo los espacios topológicos conocidos como espacios de Hausdorff. En 1914, usando el axioma de elección, obtuvo una descomposición "paradójica" de la 2-esfera como la unión disjunta de cuatro conjuntos A, B, C y Q, donde Q es numerable y los conjuntos A, B, C y B C son mutuamente congruentes.

• 1919: Entre las publicaciones de Hausdorff en su época de Greifswald destaca la obra Dimensión y medida exterior de 1919. Ha seguido siendo de gran actualidad y en años posteriores ha sido probablemente el trabajo matemático original más citado de la década de 1910 a 1920. En este trabajo, se introdujeron los conceptos que ahora se conocen como medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff.

•  1921: El trabajo analítico significativo de Hausdorff ocurrió en su segunda vez en Bonn. En Métodos de suma y secuencias de momentos I en 1921, desarrolló toda una clase de métodos de suma para series divergentes, que hoy se denominan métodos de Hausdorff.

• 1923: Una contribución significativa al análisis funcional emergente en los años veinte fue la extensión de Hausdorff del teorema de Riesz-Fischer a los espacios en su obra de 1923 Una extensión del teorema de Parseval sobre las series de Fourier. Demostró las desigualdades que ahora llevan su nombre y el de WH Young. Las desigualdades de Hausdorff-Young se convirtieron en el punto de partida de importantes novedades.

• 1930: En 1930, en Erweiterung einer Homöomorphie (Extendiendo un Homeomorfismo), mostró lo siguiente: Sea un espacio métrico, un subconjunto cerrado. Si se le da una nueva métrica sin cambiar la topología, esta métrica se puede extender a todo el espacio sin cambiar la topología.

• 1932: Creó El Teorema de Hausdorff el cual enuncia lo siguiente: Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomorfismo.

• 1935: La obra Gestufte Räume apareció en 1935. Aquí Hausdorff discutió los espacios que cumplían los axiomas de cierre de Kuratowski hasta solo el axioma de idempotencia. Los nombró espacios graduados (a menudo también llamados espacios de cierre) y los utilizó en el estudio de las relaciones entre los espacios límite de Fréchet y los espacios topológicos.

• 1938: En su último trabajo Erweiterung einer stetigen Abbildung, Hausdorff mostró en 1938 que una función continua de un subconjunto cerrado de un espacio métrico puede extenderse a todos (aunque es posible que sea necesario extender la imagen). Como caso especial, todo homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de. Este trabajo expone resultados de años anteriores.

Ahora observaremos unas imágenes que nos ilustran más sobre los aportes realizados por Felix Hausdorff a las matemáticas:

•  ESPACIO DE HAUSDORFF

Los puntos x e y, separados por sus respectivos vecindarios U y V. 

• DISTANCIA DE HAUSDORFF

Los componentes del cálculo de la distancia Hausdorff entre la línea verde X y la línea azul Y.

• LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF O DIMENSIÓN DE HAUSDORFF-BESICOVITCH

Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran Bretaña.

• MEDIDA DE HAUSDORFF

Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Solo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.

• CONVERGENCIA DE GRÓMOV-HAUSDORFF

Diagrama de cercanía y lejanía de algunas figuras bajo la distancia de Grómov-Hausdorff.

• GRUNDZÜGE DER MENGENLEHRE

 

 

 

ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA (TEOREMA DE HAUSDORFF)

Vamos a describir, salvo isomorfismos, todos los espacios normados de dimensión finita, pues veremos de hecho que, para cada N  N, todos los espacios normados de dimensión N son isomorfos. Para ello, empezamos con una sencilla observación.

• Lema. Para N ∈  N, todo operador lineal, de K^N con la topología usual, en cualquier otro espacio normado, es continuo.

Demostración. Sea Y un espacio normado y T: K^N → Y un operador lineal. Si denotamos como siempre por {e₁, e₂, ..., e_N} a la base usual de K^N, se tiene evidentemente

Fijado k  {1,2,...,N}, la aplicación x ↦ x(k), de K^N en K, es obviamente continua para la topología usual de K^N . Por otra parte, la aplicación λ ↦ λT(e_k), de K en Y es continua, por serlo el producto por escalares de Y. Vemos por tanto que la aplicación x ↦ x(k)T(e_k) es continua, como composición de funciones continuas. De (1) deducimos entonces que T es continuo, por ser una suma de funciones continuas.

Pasamos a probar un primer resultado clave sobre espacios normados de dimensión finita:

• Teorema de Hausdorff. Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomorfismo.

Demostración. En primer lugar, fijado N ∈ N, sea Φ una biyección lineal de K^N, con la topología usual, sobre un espacio normado Y. Por el lema anterior, Φ es continua, pero queremos ver que Φ es un isomorfismo, para lo cual deberemos probar que Φ⁻¹ es continua.

Consideremos la esfera unidad S = {x ∈ K^N :  = 1}, para cualquier norma en K^N cuya topología sea la usual. Como S es un conjunto compacto y Φ es continua, Φ(S) es un subconjunto compacto de Y. Por tanto, la norma de Y, que es una función continua, tendrá un mínimo en Φ(S), es decir, existe u₀ ∈ S tal quepara todo u ∈ S. Como Φ es inyectiva, se ha de tenerFijado y ∈ Y, tomamos x = Φ⁻¹(y) y escribimoscon u ∈ S. Tenemos entonces

y esto prueba que Φ⁻¹ es continua, como queríamos.

Sean ahora X e Y dos espacios normados de dimensión finita, y T: X → Y una biyección lineal. Si N ∈ N es la dimensión de X, existe una biyección lineal Φ: K^N → X, así que T ◦ Φ es una biyección lineal de K^N sobre Y. Considerando en K^N la topología usual, hemos visto ya que Φ y T ◦ Φ son isomorfismos, luego T = T ◦ Φ ◦ Φ⁻¹ también lo es.

Este teorema suele enunciarse diciendo que, para cada N ∈ N, todas las normas en K^N son equivalentes. Se puede comprobar que tal enunciado es equivalente, valga la redundancia, al que hemos usado, pero nos parece menos conveniente, porque lo queramos o no, al hablar de K^N tenemos presente su base usual, mientras que, si hablamos de un espacio normado de dimensión N, está claro que no estamos pensando en ninguna base de dicho espacio.

Fijado N ∈ N, el teorema anterior deja bien claro que K^N, con cualquier norma, es salvo isomorfismos, el único espacio normado de dimensión N, pero da una información adicional que conviene resaltar. Si X e Y son dos espacios normados de dimensión N, el teorema no sólo nos dice que X e Y son isomorfos, sino que toda biyección lineal de X sobre Y es un isomorfismo. Merece la pena detenerse a explicar el mayor interés de esta segunda afirmación.

Si X es un espacio vectorial de dimensión N, la forma natural de definir una norma en X es bastante obvia: usar coordenadas. Fijada una base de X, tenemos una biyección lineal de X sobre K^N, que nos permite trasladar a X cualquier norma de K^N, por ejemplo, la euclídea. La norma que obtenemos en X depende obviamente de la base que hemos usado, dos bases distintas dan lugar a dos biyecciones lineales distintas Φ₁, Φ₂: X → K^N, con las que obtenemos dos normas distintas, dadas por

para todo x ∈ X. Si el teorema anterior sólo dijese que dos espacios normados de la misma dimensión finita son isomorfos, tendríamos tan sólo un isomorfismo, de X con la normasobre X con la normaEsto es evidente, es un tal isomorfismo, que de hecho es isométrico. Sin embargo, el teorema asegura que la identidad en X es otro isomorfismo, es decir, que ambas normas son equivalentes. Así pues, en X existe una única topología común a todas las normas, que no depende de la base que podamos usar para definirla, o para trabajar con ella.

 

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAUSDORFF

 El teorema de Hausdorff tiene varios corolarios destacables, algunos de los cuales equivalen al propio teorema. En primer lugar, el lema previo tiene ahora una versión más general:

• Todo operador lineal, de un espacio normado de dimensión finita, en un espacio normado arbitrario, es continuo.

Si X es un espacio normado de dimensión N ∈ N, existe una biyección lineal Φ: K^N → X, que por el teorema de Hausdorff es un isomorfismo, considerando en K^N la topología usual. Si ahora Y es un espacio normado, y T: X → Y un operador lineal, el lema previo a dicho teorema nos dice que T ◦ Φ es continuo, luego T = T ◦ Φ ◦ Φ⁻¹ también lo es.

Cabe preguntarse lo que ocurre cuando es el espacio de llegada de nuestro operador lineal el que tiene dimensión finita. La respuesta es el siguiente resultado que generaliza lo que ya sabíamos para funcionales lineales.

• Sean X e Y espacios normados y supongamos que Y tiene dimensión finita. Entonces, un operador lineal T: X → Y es continuo si, y sólo si, su núcleo es cerrado. 

Si T es continuo, entonces ker T = T⁻¹( {0} ) ha de ser cerrado. Recíprocamente, si ker T es cerrado, tenemos el espacio normado cociente X / ker T y la factorización canónica de T, es decir, T = J ◦ S ◦ q, donde q: X → X / ker T es la aplicación cociente, J: T(X) → Y la inclusión natural, y S: X / ker T → T(X) una biyección lineal. Ahora bien, como T(X) tiene dimensión finita, el teorema de Hausdorff nos dice que S es un isomorfismo y, en particular, es una aplicación continua. Pero q y J son continuas, luego T también lo es.

A partir de cualquiera de los dos resultados anteriores se deduce el teorema de Hausdorff, pues si T: X → Y es una biyección lineal entre espacios normados de dimensión finita, ambos nos dicen que T y T⁻¹ son continuas. Por tanto, los tres resultados son equivalentes.

Puesto que la complitud se conserva por isomorfismos, del teorema de Hausdorff se deduce obviamente que todo espacio normado de dimensión finita es completo. En Análisis Funcional, los espacios normados de dimensión finita casi siempre aparecen como subespacios de espacios de funciones, que suelen tener dimensión infinita. Si M es un subespacio de dimensión finita de un espacio normado X, entonces M es completo con la norma inducida por X, luego M es cerrado en X. Hemos obtenido así un corolario al teorema de Hausdorff que, por la razón recién explicada, es el que se usa con más frecuencia:

• En cualquier espacio normado, todos los subespacios de dimensión finita son cerrados. 

Como última consecuencia del teorema de Hausdorff, obtenemos una condición suficiente para que un subespacio cerrado de un espacio normado esté complementado. Recordemos que, si M es un subespacio de un espacio vectorial X, la codimensión de M en X es la dimensión del cociente X / M, que coincide con la de cualquier complemento algebraico de M en X.

• Si M es un subespacio cerrado que tiene codimensión finita en un espacio normado X, entonces M está complementado en X. De hecho, todo complemento algebraico de M en X es un complemento topológico.

Sea Z un complemento algebraico de M en X y Q la proyección lineal de X sobre Z cuyo núcleo es M. Como Z tiene dimensión finita y ker Q es cerrado en X, un resultado anterior nos dice que Q es continua. Esto significa que X = M ⊕ Z es una suma topológico-directa, es decir, que Z es un complemento topológico de M en X.

CONTRAEJEMPLOS EN DIMENSIÓN FINITA

Vamos a comprobar con ejemplos que las hipótesis de dimensión finita en el teorema de Hausdorff y sus corolarios no pueden suprimirse. Los resultados son más llamativos si, en vez de considerar espacios normados concretos, trabajamos a plena generalidad. Para ello, empezamos con una sencilla observación:

• En todo espacio vectorial se puede definir una norma. 

Sea E = {u_ɣ : ɣ ∈ Γ } una base de un espacio vectorial X, con lo que todo vector de X se expresa de manera única como combinación lineal de elementos de E. Esto es tanto como decir que existe un conjunto {fɣ: ɣ  Γ } de funcionales lineales en X tal que, para cada x ∈ X, el conjunto        { ɣ ∈  Γ : fɣ (x) ≠ 0 } es finito, y se tiene

Obsérvese que, para cada x ∈  X, esta suma es en realidad finita, pues sólo hay un número finito de sumandos no nulos. Podemos entonces definir

pues de nuevo, cada una de estas sumas es finita. Es completamente evidente que de esta forma hemos definido una norma en X.

Comprobamos ahora que, el resultado sobre la continuidad de operadores lineales definidos en espacios normados de dimensión finita, es falso en todos los espacios normados de dimensión infinita:

• Si X es un espacio normado de dimensión infinita, existe un funcional lineal en X, que no es continuo.

Sea E una base de X, que es un conjunto infinito, luego contiene un conjunto infinito y numerable E₀ = {u_n: n ∈  N}. Para definir un funcional lineal en X, basta definirlo en E, cosa que puede hacerse de forma totalmente arbitraria, y extenderlo por linealidad.

Por tanto, existe un funcional lineal f en X, que verifica para todo n ∈  N. De hecho, si exigimos, por ejemplo, que se tenga f(u) = 0 para todo u ∈  E \ E₀, entonces f es único. Puesto que para todo n ∈  N, vemos que f no está acotado en la esfera unidad de X , luego no es continuo.

Ahora podemos observar también que el teorema de Hausdorff está muy lejos de ser cierto en espacios de dimensión infinita:

• Si X es un espacio normado de dimensión infinita, existe una biyección lineal      T: X → X, que verifica T⁻¹ = T y no es continua. 

Sea f un funcional lineal en X que no sea continuo, cuya existencia acabamos de probar, y sea u  X tal que f(u) = 1. Consideramos el operador lineal T: X → X definido por:

lo que prueba que T es biyectivo con T⁻¹ = T. Finalmente, como x − T(x) = 2 f(x)u para todo   x ∈  X , si T fuese continuo, f también lo sería.

El resultado anterior da lugar a parejas de normas, cuyas topologías no son comparables, es decir, ninguna de ellas está contenida en la otra: 

• Sea una norma en un espacio vectorial X de dimensión infinita. Entonces existe otra norma en X cuya topología no es comparable con la de , pero existe un isomorfismo isométrico de X con una de las normas, en X con la otra. Por tanto, es completa si, y sólo si, lo es . 

Por llamativo que parezca, este resultado es consecuencia directa del anterior. Para abreviar, llamamos X₁ al espacio normado que se obtiene, considerando en X, la norma de partida . Tenemos una biyección lineal T: X₁ → X₁, que verifica T = T⁻¹, y no es continua. Definimos entonces

con lo que obviamente tenemos una norma  en X, y llamamos X₂ al espacio normado que se obtiene dotando a X de esta nueva norma. Se cumple la segunda parte del enunciado, puesto que T es un isomorfismo isométrico, de X₂ sobre X₁. En particular, tenemos T ∈  L (X₂, X₁), pero también T = T⁻¹ ∈  L (X₁, X₂).

Como T ∈  L(X₂, X₁), si la topología de X₁ contuviese a la de X₂ se tendría T∈ L(X₁, X₁) cosa que no es cierta. Pero como T ∈  L (X₁, X₂), si la topología de X₂ contuviese a la de X₁, se tendría igualmente T ∈  L (X₁, X₁). Por tanto, las topologías de X₁ y X₂ no son comparables, como se quería.