ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSIÓN FINITA (TEOREMA DE HAUSDORFF)

Vamos a describir, salvo isomorfismos, todos los espacios normados de dimensión finita, pues veremos de hecho que, para cada N  N, todos los espacios normados de dimensión N son isomorfos. Para ello, empezamos con una sencilla observación.

• Lema. Para N ∈  N, todo operador lineal, de K^N con la topología usual, en cualquier otro espacio normado, es continuo.

Demostración. Sea Y un espacio normado y T: K^N → Y un operador lineal. Si denotamos como siempre por {e₁, e₂, ..., e_N} a la base usual de K^N, se tiene evidentemente

Fijado k  {1,2,...,N}, la aplicación x ↦ x(k), de K^N en K, es obviamente continua para la topología usual de K^N . Por otra parte, la aplicación λ ↦ λT(e_k), de K en Y es continua, por serlo el producto por escalares de Y. Vemos por tanto que la aplicación x ↦ x(k)T(e_k) es continua, como composición de funciones continuas. De (1) deducimos entonces que T es continuo, por ser una suma de funciones continuas.

Pasamos a probar un primer resultado clave sobre espacios normados de dimensión finita:

• Teorema de Hausdorff. Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomorfismo.

Demostración. En primer lugar, fijado N ∈ N, sea Φ una biyección lineal de K^N, con la topología usual, sobre un espacio normado Y. Por el lema anterior, Φ es continua, pero queremos ver que Φ es un isomorfismo, para lo cual deberemos probar que Φ⁻¹ es continua.

Consideremos la esfera unidad S = {x ∈ K^N :  = 1}, para cualquier norma en K^N cuya topología sea la usual. Como S es un conjunto compacto y Φ es continua, Φ(S) es un subconjunto compacto de Y. Por tanto, la norma de Y, que es una función continua, tendrá un mínimo en Φ(S), es decir, existe u₀ ∈ S tal quepara todo u ∈ S. Como Φ es inyectiva, se ha de tenerFijado y ∈ Y, tomamos x = Φ⁻¹(y) y escribimoscon u ∈ S. Tenemos entonces

y esto prueba que Φ⁻¹ es continua, como queríamos.

Sean ahora X e Y dos espacios normados de dimensión finita, y T: X → Y una biyección lineal. Si N ∈ N es la dimensión de X, existe una biyección lineal Φ: K^N → X, así que T ◦ Φ es una biyección lineal de K^N sobre Y. Considerando en K^N la topología usual, hemos visto ya que Φ y T ◦ Φ son isomorfismos, luego T = T ◦ Φ ◦ Φ⁻¹ también lo es.

Este teorema suele enunciarse diciendo que, para cada N ∈ N, todas las normas en K^N son equivalentes. Se puede comprobar que tal enunciado es equivalente, valga la redundancia, al que hemos usado, pero nos parece menos conveniente, porque lo queramos o no, al hablar de K^N tenemos presente su base usual, mientras que, si hablamos de un espacio normado de dimensión N, está claro que no estamos pensando en ninguna base de dicho espacio.

Fijado N ∈ N, el teorema anterior deja bien claro que K^N, con cualquier norma, es salvo isomorfismos, el único espacio normado de dimensión N, pero da una información adicional que conviene resaltar. Si X e Y son dos espacios normados de dimensión N, el teorema no sólo nos dice que X e Y son isomorfos, sino que toda biyección lineal de X sobre Y es un isomorfismo. Merece la pena detenerse a explicar el mayor interés de esta segunda afirmación.

Si X es un espacio vectorial de dimensión N, la forma natural de definir una norma en X es bastante obvia: usar coordenadas. Fijada una base de X, tenemos una biyección lineal de X sobre K^N, que nos permite trasladar a X cualquier norma de K^N, por ejemplo, la euclídea. La norma que obtenemos en X depende obviamente de la base que hemos usado, dos bases distintas dan lugar a dos biyecciones lineales distintas Φ₁, Φ₂: X → K^N, con las que obtenemos dos normas distintas, dadas por

para todo x ∈ X. Si el teorema anterior sólo dijese que dos espacios normados de la misma dimensión finita son isomorfos, tendríamos tan sólo un isomorfismo, de X con la normasobre X con la normaEsto es evidente, es un tal isomorfismo, que de hecho es isométrico. Sin embargo, el teorema asegura que la identidad en X es otro isomorfismo, es decir, que ambas normas son equivalentes. Así pues, en X existe una única topología común a todas las normas, que no depende de la base que podamos usar para definirla, o para trabajar con ella.