- 1901: La entrada de Hausdorff en un estudio minucioso de conjuntos ordenados fue motivada en parte por el problema continuo de Cantor: qué lugar ocupa el número cardinal en la serie. En 1901, Hausdorff realizó la publicación de estudios teóricos de "conjuntos graduados"
- 1904: Hausdorff
publicó la recursividad que lleva su nombre: Para cada ordinal no límite tenemos:
- 1906-1909: Hausdorff realizó su trabajo fundamental en conjuntos ordenados. Solo se pueden tocar algunos puntos brevemente:
ü
De
fundamental importancia para toda la teoría es el concepto de cofinalidad que
introdujo Hausdorff. Un ordinal se llama regular si es cofinal con
cualquier ordinal más pequeño; de lo contrario, es singular. La pregunta de
Hausdorff sobre si hay números regulares con un índice ordinal límite, fue el
punto de partida para la teoría de los cardenales inaccesibles. Hausdorff ya
había notado que tales números, si existen, deben ser de "tamaño
exorbitante".
ü
De
fundamental importancia es el siguiente teorema de Hausdorff: para cada conjunto
denso ordenado ilimitado hay dos números iniciales regulares determinados de
forma única, de modo que es cofinal con y coinicial con (* Denota el orden
inverso). Este teorema proporciona, por ejemplo, una técnica para caracterizar
elementos y huecos en conjuntos ordenados.
ü
Hausdorff
había creado esto con su teoría de productos y poderes generales. En este
depósito se encuentran estructuras tan interesantes como los tipos normales de
Hausdorff, en relación con los cuales Hausdorff formuló por primera vez la
hipótesis del continúo generalizado. Los conjuntos de Hausdorff formaron el
punto de partida para el estudio de la importante teoría de modelos de
estructura saturada.
ü
Los
productos generales de Hausdorff y los poderes de cardinalidades lo habían
llevado al concepto de conjunto parcialmente ordenado. La pregunta de si algún
subconjunto ordenado de un conjunto parcialmente ordenado está contenido en un
subconjunto máximo ordenado fue respondida positivamente por Hausdorff
utilizando el teorema del buen orden. Este es el principio máximo de Hausdorff.
ü El principio maximal de Hausdorff es una consecuencia del axioma de elección, fue publicado por primera vez en un artículo en alemán de 1909, que no causó gran conmoción en su momento, sino hasta1935 cuando Max Zorn lo publicó nuevamente.
- 1914:En su obra clásica de 1914 Grundzüge der Mengenlehre, definió y estudió los conjuntos parcialmente ordenados de manera abstracta, usando el axioma de elección, y probó que todo conjunto parcialmente ordenado tiene un subconjunto maximal linealmente ordenado.
En
este mismo libro, axiomatizó el concepto topológico de entorno e introdujo los
espacios topológicos conocidos como espacios de Hausdorff. En 1914, usando el
axioma de elección, obtuvo una descomposición "paradójica" de la
2-esfera como la unión disjunta de cuatro conjuntos A, B, C y Q, donde Q es
numerable y los conjuntos A, B, C y B
- 1919: Entre las publicaciones de Hausdorff en su época de Greifswald destaca la obra Dimensión y medida exterior de 1919. Ha seguido siendo de gran actualidad y en años posteriores ha sido probablemente el trabajo matemático original más citado de la década de 1910 a 1920. En este trabajo, se introdujeron los conceptos que ahora se conocen como medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff.
- 1921: El trabajo analítico significativo de Hausdorff ocurrió en su segunda vez en Bonn. En Métodos de suma y secuencias de momentos I en 1921, desarrolló toda una clase de métodos de suma para series divergentes, que hoy se denominan métodos de Hausdorff.
- 1923: Una contribución significativa al análisis funcional emergente en los años veinte fue la extensión de Hausdorff del teorema de Riesz-Fischer a los espacios en su obra de 1923 Una extensión del teorema de Parseval sobre las series de Fourier. Demostró las desigualdades que ahora llevan su nombre y el de WH Young. Las desigualdades de Hausdorff-Young se convirtieron en el punto de partida de importantes novedades.
- 1930: En 1930, en Erweiterung einer Homöomorphie (Extendiendo un Homeomorfismo), mostró lo siguiente: Sea un espacio métrico, un subconjunto cerrado. Si se le da una nueva métrica sin cambiar la topología, esta métrica se puede extender a todo el espacio sin cambiar la topología.
- 1932: Creó El Teorema de Hausdorff el cual enuncia lo siguiente: Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomorfismo.
- 1935: La obra Gestufte Räume apareció en 1935. Aquí Hausdorff discutió los espacios que cumplían los axiomas de cierre de Kuratowski hasta solo el axioma de idempotencia. Los nombró espacios graduados (a menudo también llamados espacios de cierre) y los utilizó en el estudio de las relaciones entre los espacios límite de Fréchet y los espacios topológicos.
- 1938: En su último trabajo Erweiterung einer stetigen Abbildung, Hausdorff mostró en 1938 que una función continua de un subconjunto cerrado de un espacio métrico puede extenderse a todos (aunque es posible que sea necesario extender la imagen). Como caso especial, todo homeomorfismo de puede extenderse a un homeomorfismo de. Este trabajo expone resultados de años anteriores.
Ahora observaremos unas imágenes que nos ilustran más sobre los aportes realizados por Felix Hausdorff a las matemáticas:
- ESPACIO DE HAUSDORFF
Los puntos x e y,
separados por sus respectivos vecindarios U y V.
- DISTANCIA DE HAUSDORFF
Los componentes del cálculo de la distancia Hausdorff entre la línea verde X y la línea azul Y.
- LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF O DIMENSIÓN DE HAUSDORFF-BESICOVITCH
Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para la costa de gran Bretaña.
- MEDIDA DE HAUSDORFF
Contenido de Hausdorff de un conjunto: para valores de la dimensión inferiores a la dimensión de Haussdorff el contenido de Hausdorff es infinito, para valores superiores el contenido es cero. Solo para un valor igual a la dimensión de Hausdorff el contenido es una cantidad positiva y finita.
- CONVERGENCIA DE GRÓMOV-HAUSDORFF
Diagrama de cercanía y lejanía de algunas figuras bajo la distancia de Grómov-Hausdorff.
- GRUNDZÜGE DER MENGENLEHRE
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