CONTRAEJEMPLOS EN DIMENSIÓN FINITA

Vamos a comprobar con ejemplos que las hipótesis de dimensión finita en el teorema de Hausdorff y sus corolarios no pueden suprimirse. Los resultados son más llamativos si, en vez de considerar espacios normados concretos, trabajamos a plena generalidad. Para ello, empezamos con una sencilla observación:

• En todo espacio vectorial se puede definir una norma. 

Sea E = {u_ɣ : ɣ ∈ Γ } una base de un espacio vectorial X, con lo que todo vector de X se expresa de manera única como combinación lineal de elementos de E. Esto es tanto como decir que existe un conjunto {fɣ: ɣ  Γ } de funcionales lineales en X tal que, para cada x ∈ X, el conjunto        { ɣ ∈  Γ : fɣ (x) ≠ 0 } es finito, y se tiene

Obsérvese que, para cada x ∈  X, esta suma es en realidad finita, pues sólo hay un número finito de sumandos no nulos. Podemos entonces definir

pues de nuevo, cada una de estas sumas es finita. Es completamente evidente que de esta forma hemos definido una norma en X.

Comprobamos ahora que, el resultado sobre la continuidad de operadores lineales definidos en espacios normados de dimensión finita, es falso en todos los espacios normados de dimensión infinita:

• Si X es un espacio normado de dimensión infinita, existe un funcional lineal en X, que no es continuo.

Sea E una base de X, que es un conjunto infinito, luego contiene un conjunto infinito y numerable E₀ = {u_n: n ∈  N}. Para definir un funcional lineal en X, basta definirlo en E, cosa que puede hacerse de forma totalmente arbitraria, y extenderlo por linealidad.

Por tanto, existe un funcional lineal f en X, que verifica para todo n ∈  N. De hecho, si exigimos, por ejemplo, que se tenga f(u) = 0 para todo u ∈  E \ E₀, entonces f es único. Puesto que para todo n ∈  N, vemos que f no está acotado en la esfera unidad de X , luego no es continuo.

Ahora podemos observar también que el teorema de Hausdorff está muy lejos de ser cierto en espacios de dimensión infinita:

• Si X es un espacio normado de dimensión infinita, existe una biyección lineal      T: X → X, que verifica T⁻¹ = T y no es continua. 

Sea f un funcional lineal en X que no sea continuo, cuya existencia acabamos de probar, y sea u  X tal que f(u) = 1. Consideramos el operador lineal T: X → X definido por:

lo que prueba que T es biyectivo con T⁻¹ = T. Finalmente, como x − T(x) = 2 f(x)u para todo   x ∈  X , si T fuese continuo, f también lo sería.

El resultado anterior da lugar a parejas de normas, cuyas topologías no son comparables, es decir, ninguna de ellas está contenida en la otra: 

• Sea una norma en un espacio vectorial X de dimensión infinita. Entonces existe otra norma en X cuya topología no es comparable con la de , pero existe un isomorfismo isométrico de X con una de las normas, en X con la otra. Por tanto, es completa si, y sólo si, lo es . 

Por llamativo que parezca, este resultado es consecuencia directa del anterior. Para abreviar, llamamos X₁ al espacio normado que se obtiene, considerando en X, la norma de partida . Tenemos una biyección lineal T: X₁ → X₁, que verifica T = T⁻¹, y no es continua. Definimos entonces

con lo que obviamente tenemos una norma  en X, y llamamos X₂ al espacio normado que se obtiene dotando a X de esta nueva norma. Se cumple la segunda parte del enunciado, puesto que T es un isomorfismo isométrico, de X₂ sobre X₁. En particular, tenemos T ∈  L (X₂, X₁), pero también T = T⁻¹ ∈  L (X₁, X₂).

Como T ∈  L(X₂, X₁), si la topología de X₁ contuviese a la de X₂ se tendría T∈ L(X₁, X₁) cosa que no es cierta. Pero como T ∈  L (X₁, X₂), si la topología de X₂ contuviese a la de X₁, se tendría igualmente T ∈  L (X₁, X₁). Por tanto, las topologías de X₁ y X₂ no son comparables, como se quería.